数及其运算

自然数/整数/有理数/实数及其运算

【略】

进制与进制转换

进制的表示

进制就是进位计数制，是一种带进位的计数方法。

我们平时生活当中所使用的数字系统是十进制的，而计算机内部是使用二进制来表示的，除此之外，还有一些其它的进制，比如时间中的时、分、秒，用的是六十进制，在 C++ 中，变量的内存地址是用十六进制表示的（如：0x7ffde284d5a4，其中 0x 代表十六进制），网页里的颜色表示很多时候用的也是十六进制（如：#FF0000 代表红色）。

下面是常见的四种进制及其表示。

进制	基数	进位条件	组成数字/字符
二进制(B)	2	逢 2 进 1	0 和 1，共 2 个数字
八进制(O)	8	逢 8 进 1	0 ~ 7，共 8 个数字
十进制(D)	10	逢 10 进 1	0 ~ 9，共 10 个数字
十六进制(H)	16	逢 16 进 1	0 ~ 9，A ~ F，共 16 个字符

根据需求，不同进制之间是可以相互转换的，大致可分为下面两大类：

1. 十进制与其它 $n$ 进制之间的相互转换
2. 二、八、十六进制之间的相互转换

下面我们一起来看看。

十进制转 $k$ 进制

这里以十进制转二进制为例，可以将十进制数划分为整数部分和小数部分（若没有小数部分则省略）。整数部分采用除二取余法，小数部分采用乘二取整法。

例如，要将二进制数 26.3125 转换为二进制数，分别用除二取余法和乘二取整数转换整数和小数部分。

除二取余法

就是用 2 连续去除十进制整数，直到商为 0 为止，最后将余数逆序输出即可得到该十进制数所对应的二进制数表示。

为了方便，用 $(26)_{10}$ 来表示该数是十进制表示，$(10101)_{2}$ 表示的该数为二进制表示。

例如，下图是用除二取余法将整数部分 26 转换为二进制的过程。

因此整数部分十进制 $(26)_{10}$ 的二进制表示为 $(11010)_{2}$ 。

同样道理，如果要将十进制转换为其它的 $k$ 进制，只需要除 $k$ 取余，直到商为 0，逆序输出余数即可。

乘二取整法

用 2 连续去乘十进制数，将得到的积的整数取出，继续用 2 去乘余下的小数部分，如此循环，直到得到的积的小数部分为 0 为止，最后将每次取出的整数部分按顺序排列并输出，就可以得到小数的二进制表示。

有的小数在用乘二取整法转换时，会无限运算下去，所以根据需要的精度取足够的位数即可停止计算。

下图是用乘二取整法将小数部分 0.3125 转换为二进制的过程。

同样道理，如果要将十进制转换为其它的 $k$ 进制，只需要乘 $k$ 取整，直到积的小数部分为 0，按顺序序输出每次的整数部分即可。

需要注意的是，很多浮点数都无法用二进制来精确表示，比如说 0.1，正因为如何，才会出现 `$0.1 + 0.2 \ne 0.3$ 这个问题出现，甚至有专门的一个 Floating Point Math 网站 来记录在不同语言中这个问题的情况，感兴趣的同学可以去看看。

十进制转二进制代码实现

代码实现有两个关键的部分。

1. 除二取余的实现

这部分与之前学过的十进制数字拆分完全一致，配合应用用 %与 / 运算即可实现。

2. 逆序输出的实现

有两种方法实现逆序输出。

• 数组方法：将每次得到的余数存入一个数组，运算完成后，将数组逆序输出。
• 字符串拼接方法：利用字符拼接的先后顺序来实现逆序输出。

通过数组方法逆序输出，代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100; // 最长的二进制位数
int q[N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    int k = 0; // 用于计位数
    while (n > 0) {
        q[k] = n % 2;
        n = n / 2;
        k++;
    }

    // 逆序输出，得到转换后的二进制数
    for (int i = k - 1; i >= 0; i--) {
        cout << q[i];
    }

    return 0;
}

通过字符串拼接输出，代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    string s = "";

    while (n > 0) {
      int t = n % 2;
      char c = t + '0'; // 将数字转换为对应的字符
      s = c + s; // 将字符 c 放在前面拼接，实现最终的倒序
      n /= 2;
    }

    cout << s << endl;
    return 0;
}

十进制转十六进制代码实现

十进制转十六进制稍微要麻烦一点，因为十六进制数中还包括对字母 $A$ ~ $B$ 的表示和处理。

实现代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    char c;
    string s = "";

    while (n > 0) {
      int t = n % 16;
      //分别处理数字与字母的对应关系
      if (t < 10) {
        c = t + '0';
      } else {
        c = t + 'A' - 10;
      }
      s = c + s; // 利用字符串拼接逆序输出
      n /= 16; // 十六进制应该除以 16
    }

    if (s == "") cout << 0;
    else cout << s;

    return 0;
}

$k$ 进制转十进制

一个十进制的数字，$a_n a_{n-1} ... a_2 a_1 a_0$ （其中 $a_i$ 表示数字中的一位），可以表示为：

$a_n \times 10^2 + a_{n-1} \times 10^{n-1} + ... + a_2 \times 10^2 + a_1 \times 10^1 + a_0 \times 10^0$

举例来说，对于十进制数 $(1234)_{10}$ 可以表示为（加权展开）：

$1 \times 10^3 + 2 \times 10^2 + 3 \times 10^1 + 4 \times 10^0$

实际上，一个 $k$ 进制的数字，遵循同样的规则，可以按加权求和的方式来得到对应的十进制数。

例如，对于二进制数 $(1101)_2$ ，可以表示为：

$1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = (13)_{10}$

对于一个 $k$ 进制数，用数字乘以对应数字位上的位权（不同的进制，位权不同），求和即可得到对应的十进制数。

二进制转十进制代码实现

下面以二进制数转十进制为例，代码实现如下：

// 二进制转十进制，加权求和
#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
  int n;
  cin >> n;

  int t = 1, sum = 0;
  while (n > 0) {
    sum = sum + (n % 10) * t; // 拆开数字，加权求和
    n = n / 10;
    t = t * 2;
  }

  cout << sum << endl;
  return 0;
}

十六进制转十进制代码实现

因为十六进制数含有字母，在输入时，以字符串来输入，在转换时需要考虑到对应字母的转换。其它的部分与二进制转十进制的逻辑是一致的。

• 3zr6xghv2 - C++ - OneCompiler

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
  string s;
  cin >> s;

  int t = 1, sum = 0;

  for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
    if (isdigit(s[i])) {
      sum = sum + (s[i] - '0') * t;
    } else {
      sum = sum + (s[i] - 'A' + 10) * t;
    }
    t = t * 16;
  }

  cout << sum << endl;
  return 0;
}

其它非十进制互转

小结