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title: "原码-反码-补码"
description: "从环境准备到 STL，系统学习 C++ 编程的基础知识。"
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# 原码-反码-补码

![](https://img.dailyup.xyz/originals/8208463162161-c194bb9a-b3b9-4656-bd35-f8e17eacd99d.png)

我们知道，**计算机内部只能处理 0 和 1，二进制才是计算机的“母语”**，我们在计算机里用到的数字、图片、视频，最终都是转换成二进制形式在计算机内进行存储和运算的。

我们在本章节里重点关于数字，为了简化，暂时只考虑其中的整数，整数（包括正数和负数），它们是如何用二进制来表示和运算的呢？

正整数的二进制表示比较直观，这个之前有讨论过，比如 5 的二进制是 `101`，假设每个正整数用 8 位二进制来表示，就是 `0000 0101`。

但负数怎么表示呢？比如 -5？也不能写成 `-0000 0101`，因为二进制里只有 0 和 1，并没有 `-` 这个符号。

> 注：在 C++ 中，一个整数（`int`类型）通常占 4 个字节，而 1 个字节为 8 位，也就是说一个 `int` 整数有 32 位。为了便于讲解，在本章节的讨论中，我们都是用 8 位二进制来表示的。

## 原码

最直观的想法是，用一个特殊的位来表示正负号，这个特殊的位也被称为符号位。例如，用最高位作为符号位，比如：0 表示正，1 表示负，这种表示方法就是这个数的原码形式，简称 **原码**。

例如：

```
 5 的原码是 0000 0101
-5 的原码是 1000 0101
```

原码的最大特点是表示简单，易于辨认，一个十进制数转换为原码形式也很方便。

- **对于正数，原码就是其二进制本身，最高位是 0**
- **对于负数，最高位为 1，其余位是其绝对值（也就是对应的正数）的二进制表示**

例如，对于数字 13，其二进制表示（8 位）是 `0000 1101`，因此
- `+13` 的原码就是 `0000 1101`
- `-13` 的原码是 `1000 1101`

### 原码的问题

虽然原码能表示负数，但它在进行加法运算时会遇到问题。

例如：计算 `1 + (-1)`：
- +1 的原码 (8 位) 是 `0000 0001`
- -1 的原码 (8 位) 是 `1000 0001`
- 如果直接按位相加：`0000 0001 + 1000 0001 = 1000 0010`。这个结果的原码是 -2。
- 但是 `1 + (-1)` 的结果应该是 0，这个结果不对。

另一个还有一个问题，原码有两种表示 0 的方式：
- +0 的原码是 `0000 0000`
- -0 的原码是 `1000 0000`

这不仅浪费了一个编码空间，而且在判断是否为零时也需要特殊处理。

**为了解决原码在加法运算和零表示上的问题，人们引入了反码和补码。**

## 反码

反码是为了解决原码加法运算的问题而引入的一种**过渡编码方式**。

### 反码的定义

- **正数：** 反码与原码相同。
- **负数：** 在其原码的基础上，符号位保持不变（仍为 1），其余各位取反（0 变 1，1 变 0）。

例如：
- +5：
    - 原码：`0000 0101`
    - 反码：`0000 0101` (与原码相同)
- -5：
    - 原码：`1000 0101`
    - 反码：`1111 1010`，符号位为 1（表示负数），其余位取反 (`000 0101 -> 111 1010`)
- +0：反码：`0000 0000`
- -0：反码：`1111 1111` (符号位 1 不变，其余 7 位取反)

### 反码的加法运算

反码的加法规则：**将两个数的反码相加，如果最高位（符号位）产生了进位，则将这个进位加到最低位上（循环进位）。**

再来计算 `3 + (-1)`：

 - +3 的反码：`0000 0011`
 - -1 的反码：`1111 1110` (注意，-1 的原码是 `1000 0001`，反码是 `1111 1110`)

反码按照加法规则相加：

```
  0000 0011
+ 1111 1110
-----------
1 0000 0001  (最高位有进位 1)
```

将最高位的进位 1 加到最低位（循环进位）：

```
  0000 0001
+ 0000 0001 (将进位加到最低位)
-----------
  0000 0010  
```

这里最终得到的结果是反码，反码是 `0000 0010`。这个反码对应的原码也是 `0000 0010`，表示 2。结果正确！

再来计算一个，`-3 + 2`，同样的方法：


 - -3 的反码：`1111 1100`  (注意，-3 的原码是 `1000 0011`，反码是 `1111 1100`)
 - +2 的反码：`0000 0010`

反码按照加法规则相加：

```
  1111 1100
+ 0000 0010
-----------
  1111 1110
```

反码是 `1111 1110`。这个反码对应的原码是 `1000 0001`，表示十进制数 `-1`。结果正确！

> 注意：如果循环进位后，最高位又产生进位，则将这个进位舍弃。

### 反码优缺点

优点：
- 反码的引入解决了使用原码是加法运算需要额外判断符号位的问题，可以直接按位相加。

缺点：
- 仍然存在 `+0` 和 `-0` 两种 0 的表示
- 加法运算需要额外的“循环进位”处理，增加了硬件设计的复杂性


## 补码

补码是为了解决上述反码遗留的两个缺点（0 的两种表示和循环进位处理）而引入的。补码也是**现代计算机中最常见的整数编码方式**。

### 补码的定义

- **正数：** 补码与原码、反码相同。
- **负数：** 在其反码的基础上，最低位加 1。

先来看 0 的两种表示的问题。

- `+0`：补码是 `0000 0000` （与原码 / 反码相同）
- `-0`：反码是 `1111 1111`，最低位加 1，`1111 1111 + 0000 0001 = 1 0000 0000`。由于是 8 位，最高位的进位直接舍弃，结果也是 `0000 0000`

也就是说，**在补码中，`+0` 与 `-0` 都表示为 `0000 0000`，零的表示现在是唯一的了**！

### 补码的加法运算

补码的加法规则：**将两个数的补码直接按位相加，最高位的进位自然舍弃（不存在循环进位了）。**

计算 `1 + (-1)`：
- +1 的补码：`0000 0001`
- -1 的补码：-1 的反码是 1111 1110，补码是 `1111 1111`
- 补码相加：

```
  0000 0001
+ 1111 1111
-----------
1 0000 0000  (最高位进位 1，舍弃)
```

结果的补码是 `0000 0000`，表示 0。结果正确！

计算 `5 + (-2)`：
- +5 的补码：`0000 0101`
- -2 的补码：-2 的反码是 1111 1101，补码是 `1111 1110`

补码相加：

```
  0000 0101
+ 1111 1110
-----------
1 0000 0011  (最高位进位 1，舍弃)
```

结果的补码是 `0000 0011`，表示 +3。结果正确！

### 补码的优点

- 零只有一种表示方式
- 加法运算简单：正数和负数的加法都可以直接按位相加，最高位的进位自然舍弃得到，不需要额外的循环进位处理。这极大简化了计算机硬件的设计。
- 减法可以转换为加法：计算 `A - B` 等价于计算 `A + (-B)`，而 `-B` 的补码可以通过 `B` 的补码（如果是正数，就直接是原码）按位取反再加 1 得到。

### 补码的范围

对于一个 n 位二进制数：

- **无符号整数：** 可以表示 $0$ 到 $2^n - 1$ 的范围。
- **有符号整数 (补码表示)：**
    - 最高位是符号位。
    - 可以表示 $-2^{n-1}$ 到 $2^{n-1} - 1$ 的范围。
例如，32 位有符号整数的范围是 $-2^{31}$ 到 $2^{31} - 1$，在 C++ 中，如果大家输出整数（`int`）的最大和最小值宏定义的值：

```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
  cout << "INT 最小值：" << INT_MIN << endl;
  cout << "INT 最大值：" << INT_MAX << endl;
  return 0;
} 
```

输出：

```
INT 最小值：-2147483648
INT 最大值：2147483647
```
最小值也就是 $-2^{31}$ 的结果，最大值也就是 $2^{31} - 1$ 的值。

注意负数的最小值的绝对值比正数的最大值大 1，这是因为 0 占用了正数的一个编码空间，而补码中只有一个 0 的表示。那个额外的负数（如 8 位中的 -128）没有对应的正数原码。

## 总结

- **原码：** 最高位表示符号，其余位表示绝对值。直观但加法和零表示有问题。
- **反码：** 正数同原码，负数符号位不变，其余位取反。解决了加法符号问题，但零表示和循环进位仍是问题。
- **补码：** 正数同原码/反码，负数在反码基础上最低位加 1。解决了零的表示唯一性问题和加法运算的复杂性。

**现代计算机中，整数（包括有符号和无符号）都是以补码形式存储和运算的。**

理解原码、反码、补码，特别是补码的设计思想，对于理解计算机底层如何进行整数运算非常有帮助。在算法竞赛中，虽然直接手算这些转换不多，但理解它们能帮助你更好地理解位运算、溢出等概念。

Source: https://cppguide.xyz/basic/complement/index.mdx